APLICACIÓN DE LA DERIVADA

By Claudio Hurtado Clases particulares de cálculo +56937780070

La derivada es una herramienta matemática que mide la tasa de cambio instantánea de una función. Se usa en muchas situaciones de la vida real, desde economía hasta ingeniería y medicina. Veamos algunos ejemplos prácticos y cómo se aplican paso a paso.

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Ejemplo 1: Velocidad de un automóvil 🚗💨

Supongamos que la posición de un auto en función del tiempo está dada por:

s(t)=5t2+2ts(t) = 5t^2 + 2ts(t)=5t2+2t

donde $s(t)$ está en metros y $t$ en segundos. Queremos conocer la velocidad del auto en cualquier instante $t$.

Paso 1: Interpretación

La velocidad es la tasa de cambio de la posición con respecto al tiempo, lo que significa que debemos derivar $s(t)$.

Paso 2: Derivamos la función

v(t)=ddt(5t2+2t)v(t) = \frac{d}{dt} \left( 5t^2 + 2t \right)v(t)=dtd(5t2+2t)

Usamos la regla de la potencia (ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}dxdxn=nxn−1):

$$v(t)=10t+2$$

Paso 3: Evaluamos en un instante específico

Si queremos saber la velocidad en $t=3$ segundos:

$$v(3)=10(3)+2=30+2=32\text{ m/s}$$

📌 Conclusión: A los 3 segundos, el auto se mueve a 32 metros por segundo.

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Ejemplo 2: Crecimiento de una bacteria 🦠🔬

Una colonia de bacterias sigue el modelo de crecimiento:

N(t)=200e0.05tN(t) = 200e^{0.05t}N(t)=200e0.05t

donde $N(t)$ es la cantidad de bacterias en el tiempo $t$ (horas). Queremos conocer la tasa de crecimiento en $t=10$ horas.

Paso 1: Interpretación

La tasa de crecimiento es la derivada de $N(t)$, es decir, N′(t)N'(t)N′(t).

Paso 2: Derivamos la función

Usamos la regla de la derivada de exe^xex:

N′(t)=200⋅0.05e0.05tN'(t) = 200 \cdot 0.05 e^{0.05t}N′(t)=200⋅0.05e0.05t N′(t)=10e0.05tN'(t) = 10 e^{0.05t}N′(t)=10e0.05t

Paso 3: Evaluamos en $t=10$

N′(10)=10e0.05(10)N'(10) = 10e^{0.05(10)}N′(10)=10e0.05(10) N′(10)=10e0.5≈10(1.6487)=16.49N'(10) = 10e^{0.5} \approx 10(1.6487) = 16.49N′(10)=10e0.5≈10(1.6487)=16.49

📌 Conclusión: A las 10 horas, la cantidad de bacterias está aumentando a un ritmo de 16.49 bacterias por hora.

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Ejemplo 3: Economía – Maximizar ingresos 💰📊

Una empresa vende un producto a un precio $p(x)$ en función de la cantidad $x$ de productos vendidos:

$$p(x)=100-2x$$

Los ingresos $R(x)$ se calculan como:

$$R(x)=x\cdot p(x)=x(100-2x)$$ R(x)=100x−2x2R(x) = 100x – 2x^2R(x)=100x−2x2

Queremos saber en qué cantidad de productos el ingreso es máximo.

Paso 1: Derivamos la función de ingresos

R′(x)=100−4xR'(x) = 100 – 4xR′(x)=100−4x

Paso 2: Igualamos a cero para encontrar el máximo

$$100-4x=0$$ $$4x=100$$ $$x=25$$

Paso 3: Confirmamos que es un máximo

Derivamos nuevamente:

R′′(x)=−4R»(x) = -4R′′(x)=−4

Como R′′(x)<0R»(x) < 0R′′(x)<0, la función tiene un máximo en $x=25$.

📌 Conclusión: Para maximizar ingresos, la empresa debe vender 25 productos.

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Resumen

1. Velocidad: Derivamos la posición para encontrar la velocidad.
2. Crecimiento de bacterias: Derivamos la población para conocer la tasa de crecimiento.
3. Economía: Derivamos los ingresos para encontrar el punto de máximo beneficio

Ejemplo 4: Enfriamiento de una taza de café ☕❄️

Cuando una taza de café caliente se deja en una habitación, su temperatura sigue la Ley de Enfriamiento de Newton:

T(t)=Ta+(T0−Ta)e−ktT(t) = T_a + (T_0 – T_a) e^{-kt}T(t)=Ta+(T0−Ta)e−kt

donde:

• $T(t)$ es la temperatura del café en el tiempo $t$,
• TaT_aTa es la temperatura ambiente,
• T0T_0T0 es la temperatura inicial del café,
• $k$ es una constante de enfriamiento,
• e−kte^{-kt}e−kt modela la rapidez con la que se enfría.

Paso 1: Interpretación

Queremos conocer la tasa de enfriamiento, es decir, cómo cambia la temperatura con el tiempo.

Paso 2: Derivar la ecuación de enfriamiento

T′(t)=−k(T0−Ta)e−ktT'(t) = -k (T_0 – T_a) e^{-kt}T′(t)=−k(T0−Ta)e−kt

Esto nos dice que la temperatura disminuye exponencialmente con el tiempo.

Paso 3: Aplicar un caso real

Si el café comienza a T0=90∘CT_0 = 90^\circ CT0=90∘C, la habitación está a Ta=20∘CT_a = 20^\circ CTa=20∘C, y la constante de enfriamiento es $k=0.1$, entonces:

T′(5)=−0.1(90−20)e−0.1(5)T'(5) = -0.1 (90 – 20) e^{-0.1(5)}T′(5)=−0.1(90−20)e−0.1(5) T′(5)=−0.1(70)e−0.5T'(5) = -0.1 (70) e^{-0.5}T′(5)=−0.1(70)e−0.5 T′(5)≈−0.1(70)(0.6065)=−4.24∘C/minT'(5) \approx -0.1 (70)(0.6065) = -4.24^\circ C/\text{min}T′(5)≈−0.1(70)(0.6065)=−4.24∘C/min

📌 Conclusión: A los 5 minutos, el café se está enfriando a una velocidad de 4.24°C por minuto.

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Otras 5 situaciones similares donde se usa la derivada

5. Decaimiento radiactivo ☢️

Los materiales radiactivos se descomponen con el tiempo según una función exponencial:

N(t)=N0e−ktN(t) = N_0 e^{-kt}N(t)=N0e−kt

La derivada N′(t)N'(t)N′(t) nos da la velocidad de descomposición en un instante dado. Se usa en física nuclear y datación por carbono.

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6. Flujo de agua en un tanque ⛲

Si un tanque de agua drena a través de un orificio, la velocidad del flujo sigue la Ecuación de Torricelli:

v(t)=2gh(t)v(t) = \sqrt{2gh(t)}v(t)=2gh(t)

La derivada de $h(t)$, la altura del agua, nos indica la tasa de cambio en el nivel del agua con el tiempo.

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7. Ritmo cardíaco en medicina ❤️

En electrocardiogramas (ECG), la variación de voltaje en el tiempo se modela con funciones periódicas. La derivada del voltaje nos da la aceleración del latido cardíaco, útil para detectar arritmias.

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8. Optimización del consumo de combustible ⛽🚗

Los ingenieros automotrices analizan cómo cambia el consumo de combustible con la velocidad $v$. Si la eficiencia del combustible es $E(v)$, su derivada E′(v)E'(v)E′(v) indica en qué velocidad el auto tiene el mejor rendimiento.

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9. Enfriamiento de un motor 🚜🔥

Después de apagar un motor caliente, su temperatura sigue la Ley de Enfriamiento de Newton. La derivada nos da la velocidad a la que se enfría, clave en el diseño de sistemas de enfriamiento de vehículos.

Ejemplo 5: Decaimiento Radiactivo ☢️

Un material radiactivo tiene una vida media de 10 años. Si al inicio hay 100 g, ¿cuál es la tasa de descomposición a los 5 años?

Paso 1: Plantear la ecuación del decaimiento

El modelo de descomposición radiactiva es:

N(t)=N0e−ktN(t) = N_0 e^{-kt}N(t)=N0e−kt

donde:

• N0=100N_0 = 100N0=100 g (cantidad inicial),
• $k$ es la constante de desintegración,
• $t$ es el tiempo en años.

La constante $k$ se obtiene de la vida media:

T1/2=ln⁡2kT_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}T1/2=kln2 10=ln⁡2k⇒k=ln⁡210≈0.069310 = \frac{\ln 2}{k} \Rightarrow k = \frac{\ln 2}{10} \approx 0.069310=kln2⇒k=10ln2≈0.0693

Paso 2: Derivar la ecuación

La derivada nos da la tasa de descomposición:

N′(t)=−kN0e−ktN'(t) = -k N_0 e^{-kt}N′(t)=−kN0e−kt

Sustituyéndolo todo:

N′(5)=−0.0693(100)e−0.0693(5)N'(5) = -0.0693 (100) e^{-0.0693(5)}N′(5)=−0.0693(100)e−0.0693(5) N′(5)≈−0.0693(100)(0.704)=−4.88 g/an˜oN'(5) \approx -0.0693 (100) (0.704) = -4.88 \text{ g/año}N′(5)≈−0.0693(100)(0.704)=−4.88 g/an˜o

📌 Conclusión: A los 5 años, el material se está descomponiendo a un ritmo de 4.88 g/año.

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Ejemplo 6: Flujo de agua en un tanque ⛲

Un tanque cilíndrico tiene 1.5 metros de agua y un pequeño orificio en la base. ¿Cuál es la velocidad con la que baja el nivel del agua?

Paso 1: Usamos la ecuación de Torricelli

v=2ghv = \sqrt{2gh}v=2gh

donde $g=9.81$ m/s² y $h=1.5$ m.

Paso 2: Sustituyemos valores

v=2(9.81)(1.5)v = \sqrt{2(9.81)(1.5)}v=2(9.81)(1.5) v≈29.43≈5.43 m/sv \approx \sqrt{29.43} \approx 5.43 \text{ m/s}v≈29.43≈5.43 m/s

📌 Conclusión: El agua sale con una velocidad de 5.43 m/s.

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Ejemplo 7: Ritmo cardíaco en medicina ❤️

Un electrocardiograma está modelado por la función:

$$V(t)=0.5\sin (2\pi t)$$

donde $V(t)$ mide el voltaje en milivoltios y $t$ está en segundos. ¿Cuál es la máxima velocidad de cambio del voltaje?

Paso 1: Derivar la función

V′(t)=0.5⋅2πcos⁡(2πt)V'(t) = 0.5 \cdot 2\pi \cos(2\pi t)V′(t)=0.5⋅2πcos(2πt) V′(t)=πcos⁡(2πt)V'(t) = \pi \cos(2\pi t)V′(t)=πcos(2πt)

Paso 2: Encontrar el valor máximo

La función $\cos (2\pi t)$ varía entre $[-1,1]$, por lo que la velocidad máxima es:

V′(t)max⁡=π(1)=π mV/sV'(t)_{\max} = \pi (1) = \pi \text{ mV/s}V′(t)max=π(1)=π mV/s

📌 Conclusión: La mayor velocidad de cambio del voltaje es π mV/s (≈ 3.14 mV/s).

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Ejemplo 8: Optimización del consumo de combustible ⛽🚗

El rendimiento de combustible de un auto (km por litro) está dado por:

E(v)=−0.05v2+3v+10E(v) = -0.05v^2 + 3v + 10E(v)=−0.05v2+3v+10

donde $v$ es la velocidad en km/h. ¿A qué velocidad el auto tiene el mejor rendimiento?

Paso 1: Derivar la función

E′(v)=−0.1v+3E'(v) = -0.1v + 3E′(v)=−0.1v+3

Paso 2: Encontrar el máximo (igualamos a 0)

$$-0.1v+3=0$$ $$0.1v=3$$ $$v=30\text{ km/h}$$

Paso 3: Confirmar con la segunda derivada

E′′(v)=−0.1E»(v) = -0.1E′′(v)=−0.1

Como es negativa, tenemos un máximo en $v=30$ km/h.

📌 Conclusión: El auto alcanza el máximo rendimiento a 30 km/h.

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Ejemplo 9: Enfriamiento de un motor 🚜🔥

Un motor se apaga y su temperatura sigue:

T(t)=200+50e−0.2tT(t) = 200 + 50e^{-0.2t}T(t)=200+50e−0.2t

donde $T(t)$ está en °C y $t$ en minutos. ¿A qué ritmo se enfría a los 10 minutos?

Paso 1: Derivar la función

T′(t)=−50(0.2)e−0.2tT'(t) = -50(0.2)e^{-0.2t}T′(t)=−50(0.2)e−0.2t T′(t)=−10e−0.2tT'(t) = -10e^{-0.2t}T′(t)=−10e−0.2t

Paso 2: Evaluar en $t=10$

T′(10)=−10e−2T'(10) = -10e^{-2}T′(10)=−10e−2 T′(10)≈−10(0.1353)=−1.35∘C/minT'(10) \approx -10(0.1353) = -1.35^\circ C/\text{min}T′(10)≈−10(0.1353)=−1.35∘C/min

📌 Conclusión: A los 10 minutos, el motor se enfría a un ritmo de 1.35°C por minuto.

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Resumen de los problemas y soluciones